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title: Lösungsformel für die Quadratische Gleichung
slug: Web/MathML/Beispiele/Quadratische_Gleichung
tags:
  - Beispiel
  - MathML
translation_of: Web/MathML/Examples/Deriving_the_Quadratic_Formula
---
<p>Lösungsformel der Quadratischen Gleichung (mit quadratischer Ergänzung)</p>

<p><math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <mi>a</mi> <mo>⁢</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup></mrow> <mo> + </mo> <mi>b</mi> <mo>⁢</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo> + </mo> <mi>c</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <mi>a</mi> <mo>⁢</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup></mrow> <mo> + </mo> <mi>b</mi> <mo>⁢</mo> <mi>x</mi> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo><mi> c</mi><mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup></mrow> <mo> + </mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> <mo>⁤</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo><mi>c</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow><mtext mathcolor="red" mathsize="10pt">Division durch a</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup></mrow> <mo> + </mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> <mo>⁤</mo> <mi>x</mi> <mo> + </mo> <msup> <mfenced> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mfenced> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow></mfrac> </mrow> <mo> + </mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow></mfrac> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"></mspace> </mtd> <mtd> <mrow><mtext mathcolor="red" mathsize="10pt">quadratische Ergänzung</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo> + </mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow></mfrac> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo> + </mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow></mfrac> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo> - </mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow></mfrac> </mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"></mspace> </mrow></mtd> <mtd> <mrow><mtext mathcolor="red" mathsize="10pt">binomische Formel</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo> + </mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow></mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo> - </mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow></mfrac> </mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"></mspace><mrow><mtext mathcolor="red" mathsize="10pt"></mtext> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <mrow> <mi>x</mi> <mo> + </mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow></mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo> - </mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow></mfrac> </msqrt> </mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"></mspace><mrow><mtext mathcolor="red" mathsize="10pt"></mtext> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo><mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow></mfrac> <mo>±</mo><mrow><mo>{</mo><mi>C</mi><mo>}</mo></mrow> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo> - </mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow></mfrac> </msqrt> </mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"></mspace> </mrow></mtd> <mtd> <mrow><mtext mathcolor="red" mathsize="10pt">Scheitelpunktberechnung</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2.5ex"></mspace> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mi> b</mi> <mo>±</mo><mrow><mo>{</mo><mi>C</mi><mo>}</mo></mrow> <msqrt> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo> - </mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </msqrt></mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow></mfrac> </mrow> <mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"></mspace> <mrow><mtext mathcolor="red" mathsize="10pt"></mtext> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable></math></p>

<p>Zur Erläuterung hier der Quelltext der letzten beiden Zeilen. <code>mtable</code> erleichtert die Anordnung mehrerer, zusammengehöriger Gleichungen und Erläuterungen untereinander.</p>

<pre class="brush: html">&lt;math&gt;
  &lt;mtable columnalign="left"&gt;
    &lt;mtr&gt;
      &lt;mtd&gt;
        &lt;mrow&gt;
          &lt;mrow&gt;
            &lt;mrow&gt;
              &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;
            &lt;/mrow&gt;
            &lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;
            &lt;mfrac&gt;
              &lt;mrow&gt;
                &lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;
              &lt;/mrow&gt;
              &lt;mrow&gt;
                &lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;
              &lt;/mrow&gt;
            &lt;/mfrac&gt;
            &lt;mo&gt;±&lt;/mo&gt;
            &lt;mrow&gt;
              &lt;mo&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;}&lt;/mo&gt;
            &lt;/mrow&gt;
            &lt;msqrt&gt;
              &lt;mfrac&gt;
                &lt;mrow&gt;
                  &lt;msup&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;
                  &lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;
                  &lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;
                  &lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;
                  &lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;
                &lt;/mrow&gt;
                &lt;mrow&gt;
                  &lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;
                  &lt;msup&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;
                &lt;/mrow&gt;
              &lt;/mfrac&gt;
            &lt;/msqrt&gt;
          &lt;/mrow&gt;
          &lt;mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"&gt;&lt;/mspace&gt;
        &lt;/mrow&gt;
      &lt;/mtd&gt;
      &lt;mtd&gt;
        &lt;mrow&gt;
          &lt;mtext mathcolor="red" mathsize="10pt"&gt;Scheitelpunktberechnung&lt;/mtext&gt;
        &lt;/mrow&gt;
      &lt;/mtd&gt;
    &lt;/mtr&gt;
    &lt;mtr&gt;
      &lt;mtd&gt;
        &lt;mrow&gt;
          &lt;mrow&gt;
            &lt;/mspace&gt;
            &lt;mrow&gt;
              &lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;
            &lt;/mrow&gt;
            &lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;
            &lt;mfrac&gt;
              &lt;mrow&gt;
                &lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;
                &lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;
                &lt;mo&gt;±&lt;/mo&gt;
                &lt;mrow&gt;
                  &lt;mo&gt;{&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;}&lt;/mo&gt;
                &lt;/mrow&gt;
                &lt;msqrt&gt;
                  &lt;msup&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;
                  &lt;mo&gt;-&lt;/mo&gt;
                  &lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;
                  &lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;
                  &lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;
                &lt;/msqrt&gt;
              &lt;/mrow&gt;
              &lt;mrow&gt;
                &lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;
                &lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;
              &lt;/mrow&gt;
            &lt;/mfrac&gt;
          &lt;/mrow&gt;
          &lt;mspace depth="1ex" height="0.5ex" width="2ex"&gt;
          &lt;/mspace&gt;
          &lt;mrow&gt;
            &lt;mtext mathcolor="red" mathsize="10pt"&gt;&lt;/mtext&gt;
          &lt;/mrow&gt;
        &lt;/mrow&gt;
      &lt;/mtd&gt;
    &lt;/mtr&gt;
  &lt;/mtable&gt;
&lt;/math&gt;</pre>

<p> </p>

<p>Siehe <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungen_der_quadratischen_Gleichung_mit_reellen_Koeffizienten">https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungen_der_quadratischen_Gleichung_mit_reellen_Koeffizienten</a></p>